Em análise numérica, polinômio (português brasileiro) ou polinómio (português europeu) de Newton (nomeado em referência a Isaac Newton) é um polinômio interpolador para um dado conjunto de pontos. Os coeficientes do polinômio são calculados através de diferenças divididas.[1][2]
Dado um conjunto de
pontos:
![{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cff89ad8da1948e6dee7d09c94d2ca7f2080dfa)
com todos
distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Newton é dado por:
![{\displaystyle p(x)=y_{0}+\sum _{i=1}^{n}\left(\triangle ^{i}y_{0}\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ba45c38c70f3ad02e8a0698a1b5fb97f951e01)
Onde
:= diferença dividida de i-ésima ordem, do ponto 0.
Exemplo
O polinômio
, que interpola
nos pontos dados[2]
![{\displaystyle x_{0}=-1~\,f(x_{0})=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c44f9d259a4fd9ce08b283dd371abdae7bc3437)
![{\displaystyle x_{1}=0~\,f(x_{1})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0179daa5424cb4940ab7f2b3adefadfb5a1360a9)
![{\displaystyle x_{2}=2~\,f(x_{2})=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0e35a6d909b7cf6d2fc75fb48849d13bca6361)
- Na forma de Newton[3]
(Operador diferenças divididas )
![{\displaystyle p_{2}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f[x_{0},x_{1}]+(x-x_{0})(x-x_{1})f[x_{0},x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd40e1b66deae492f42d4432f255e1054ce7997)
![{\displaystyle {\begin{array}{c||ccc}x&{\mbox{Ordem 0}}&{\mbox{Ordem 1}}&{\mbox{Ordem 2}}\\\hline -1&4&&\\&&-3&\\0&1&&{\frac {2}{3}}\\&&-1&\\2&-1&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65e4f5e8d971ee0d06cc29d01fdb107a4ae7b94)
![{\displaystyle p_{2}(x)=4+(x-(-1))({\frac {(1-4)}{(0-(-1))}})+(x-(-1))(x-0)({\frac {{\frac {((-1)-1)}{(2-0)}}-{\frac {(1-4)}{(0-(-1))}}}{2-(-1)}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f51f55b9573c2bce6ddd3b585eb46360c024d6)
![{\displaystyle p_{2}(x)=4+(x+1)(-3)+(x+1)(x-0)({\frac {2}{3}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34b7021478d8639cd94b661991d87f61045924f)
Ver também
Referências
- ↑ Interpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton
- ↑ a b Interpolação polinomial - Met. Lagrange e Newton
- ↑ «Interpolação» (PDF). Consultado em 5 de dezembro de 2014. Arquivado do original (PDF) em 24 de setembro de 2015
Ligações externas
Commons O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Polinómio de Newton
- Amy Hui-Lin Chiu, Quartic Newton's method and matings of polynomials Thesis (Ph. D.)--Boston University, 1997. OCLC 37597068 (em inglês)
- Wilhelm Huisinga, Faber and Newton polynomial integrators for open system density matrix propagation , Berlin : ZIB, 1998. OCLC 76017284 (em inglês)
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