Zasada Lagrange’a

Zasada Lagrange’a, także zasada prac wirtualnych lub zasada prac przygotowanych^[1] – podstawowe twierdzenie statyki dotyczące równowagi układu punktów materialnych. Mówi ona, że w położeniu równowagi dla dowolnego, małego i zgodnego z więzami przesunięcia punktów układu, suma prac wykonanych w układzie przy tym przesunięciu przez siły zewnętrzne jest zerowa.

W postaci matematycznej zasada wyrażona jest następująco: dany jest układ ${\displaystyle N}$ punktów materialnych. Położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej opisywane jest przez wektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ o współrzędnych ${\displaystyle x_{j}\ (j=1,2,\dots ,3N).}$

Składowe wypadkowej siły zewnętrznej działającej na układ oznaczmy przez ${\displaystyle X_{j}\ (j=1,2,\dots ,3N).}$

Dodatkowo ruch układu jest ograniczony przez więzy geometryczne opisywane przez ${\displaystyle n}$ równań

${\displaystyle f_{k}(x,t)=0,\qquad (k=1,2,\dots ,n).}$

W takiej sytuacji warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by pewien, spełniający równania więzów, punkt przestrzeni konfiguracyjnej był punktem równowagi układu, jest by w punkcie tym zachodziło:

${\displaystyle \delta W\equiv \sum _{j=1}^{3N}X_{j}\,\delta x_{j}=0}$

dla dowolnych liczb ${\displaystyle \delta x_{j}}$ spełniających warunki:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{3N}{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}\delta x_{j}=0,\qquad (k=1,2,\dots ,n).}$

Wielkość ${\displaystyle \delta W}$ nosi nazwę pracy wirtualnej lub pracy przygotowanej a ${\displaystyle \delta x_{j}}$ jest ${\displaystyle j}$-tą składową w przestrzeni konfiguracyjnej przesunięcia wirtualnego.

Zasada Lagrange’a jest konsekwencją zasady d’Alemberta.

Przypisy

Bibliografia

• Grzegorz Białkowski: Mechanika klasyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 215–218.
• Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1977, s. 153–154.