L'Hôpitals regel er en regel innenfor matematikken som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 00, 0/0, ∞/∞ og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å derivere teller og nevner i uttrykket hvis det står på formen 0/0 eller ∞/∞.
Den er oppkalt etter Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, som først publiserte den.
Regel
- Gitt funksjonene f(x) og g(x)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588e3328e97a9accf24a098aa41945eb1fb0a88b)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f17796e141594a39ca4761c0ad9a5d5a32faeeb)
- Er grenseverdien gitt ved:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f654e25c3bbbbb7825d619fd3526371fe1cb65b2)
Eksempler
- Et enkelt eksempel på bruk av L'Hôpitals regel:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}}{2x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x}{4x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f787d1767e88cfc2818480a773855b194e8c2097)
- Et litt mer komplisert uttrykk er gitt ved følgende ligning:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}&=\lim _{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}\\&=\lim _{x\to 0}{-2\sin x+4\sin 2x \over \sin x}\\&=\lim _{x\to 0}{-2\cos x+8\cos 2x \over \cos x}\\&={-2\cos 0+8\cos 0 \over \cos 0}\\&=6\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4479c0c83aa6fd9d4671de0471266e7c6bcc3f)
- Her er et eksempel på et ∞/∞ uttrykk:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}})\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe487214a4b053506a2e88d4fd1a1a775d3751c0)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0+}(x\ln x)=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a693f3ba8a4d45b14f2168c498a7cc9a8bc6a83)
- For å regne ut uttrykk av formen 00 må uttrykket omskrives. Vi bruker resultatet fra forrige eksempel til å fastslå grenseverdien:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0}(x\ln x)}=e^{0}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2298bb5c66cba8b2d7f47a2a76a511617420a303)
Litteratur
- Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
- Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., ss. xiv+201, DOI:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447
- Lettenmeyer, F. (1936), «Über die sogenannte Hospitalsche Regel», Journal für die reine und angewandte Mathematik 174: 246–247, DOI:10.1515/crll.1936.174.246
- Taylor, A. E. (1952), «L'Hospital's rule», Amer. Math. Monthly 59: 20–24, DOI:10.2307/2307183, ISSN 0002-9890, MR 0044602
- Wazewski, T. (1949), «Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations» (på fransk), Prace Mat.-Fiz. 47: 117–128, MR 0034430
Oppslagsverk/autoritetsdata | MathWorld · Nationalencyklopedin |
---|