最小公倍数

最小公倍数（さいしょうこうばいすう、英: least common multiple）とは、${\displaystyle 0}$ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数を指す。度々、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。

定義

2つ以上の整数 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$の最小公倍数とは、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$の公倍数のうち最小の正整数である。

つまり、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$を、素数 (prime) p を用いて

と素因数分解したとき、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$の最小公倍数は

で与えられる。

例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。

12 = 2²×3¹

16 = 2⁴

48 = 2⁴×3¹

諸概念

公倍数は最小公倍数の倍数である。

証明

${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の最小公倍数を ${\displaystyle l}$ とする． ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の一般の公倍数を ${\displaystyle m}$ とし，${\displaystyle m=ql+r,\quad (0<r<l)}$ と置く。 変形して ${\displaystyle r=m-ql}$ …① ①右辺は ${\displaystyle m}$ は ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の公倍数、${\displaystyle l}$ も同じく ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の公倍数。 よって①の左辺 ${\displaystyle r}$ は ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}$ の公倍数になる。 しかし${\displaystyle 0<r<l}$ となり、最小公倍数 ${\displaystyle l}$ よりも一般公倍数 ${\displaystyle r}$ が小さく矛盾． すなわち ${\displaystyle r=0}$。よって公倍数 ${\displaystyle m=ql}$ であり最小公倍数の倍数となっている．(証明終）

正整数${\displaystyle a,\ b}$に対して、${\displaystyle a}$と${\displaystyle b}$の最大公約数${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)}$と最小公倍数${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\ b)}$との間には

という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、${\displaystyle a=2,\ b=6,\ c=15}$とすると、${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b,\ c)=1,\ \mathrm {lcm} (a,\ b,\ c)=30}$であるが、${\displaystyle abc=180}$である。

多項式の最小公倍数

多項式の${\displaystyle 0}$でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、${\displaystyle x^{3}-x}$と${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1}$の最小公倍数は${\displaystyle x(x+1)^{2}(x-1)}$である。

多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。

参考文献

• 高木貞治『初等整数論講義第2版』共立出版、東京、1971年。 

関連項目

プロジェクト 数学

• 公約数
• 公倍数
• 最大公約数
• 多項式

表 話 編 歴 二項演算
四則演算	加法 減法 乗法 除法
ハイパー演算	加法 乗法 冪乗 テトレーション ペンテーション
その他	対数 二項係数 スターリング数 階乗冪 剰余演算 最小公倍数 最大公約数 平方剰余記号
カテゴリ