Sistema di funzioni iterate

Un sistema di funzioni iterate (spesso abbreviato in IFS dall'inglese Iterated Function System) è un insieme di ${\displaystyle n}$ trasformazioni affini contrattive (che agiscono cioè sulla scala degli oggetti trattati.^[1][2] Pur avendo a che fare più con la teoria degli insiemi che con la geometria frattale^[3] vengono più spesso impiegati e citati in quest'ultimo campo.

Formalmente, un sistema di funzioni iterate è un insieme finito di applicazione di contrazione ${\displaystyle {\cal {S}}}$ su uno spazio metrico completo. ^[4]

In formula:

${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\dots ,N\},\ N\in \mathbb {N} }$

è un sistema di funzioni iterato se ogni ${\displaystyle f_{i}}$ è una contrazione sullo spazio metrico completo ${\displaystyle X}$.

Normalmente, vengono utilizzati due tipi di algoritmi, la versione deterministica o quella casuale.^[2]

L'algoritmo deterministico consiste nel prendere un insieme di punti, che può essere una qualsiasi figura geometrica, e applicarvi ciascuna delle ${\displaystyle n}$ trasformazioni affini del sistema, per cui otteniamo ${\displaystyle n}$ serie di punti trasformati. A ognuno di essi riapplichiamo ognuna delle n funzioni, ottenendo ${\displaystyle n_{2}}$ nuove serie di punti. Continuiamo in questo modo iterando sui risultati, fino a quando l'unione di tutti gli insiemi ottenuti nell'ultima iterazione si avvicina sufficientemente alla figura che costituisce l'attrattore del sistema. Arriveremo sempre a questo attrattore, indipendentemente dal set di punti selezionato iniziale. Ogni IFS ha un attrattore caratteristico, che sarà un frattale autosimile, poiché è costruito su copie di se stesso, sempre più piccole. Normalmente, non ci vogliono molte iterazioni per ottenere questo insieme frattale.^[2]

L'algoritmo casuale è simile, ma invece di applicare le funzioni a un insieme di punti, li applichiamo a un singolo punto ancora e ancora, disegnando il risultato ogni volta. Assegniamo un valore di probabilità a ciascuna delle trasformazioni di sistema, tenendo conto che la somma totale dei valori di probabilità delle funzioni deve essere 1. In ogni iterazione dell'algoritmo, selezioniamo una delle trasformazioni con probabilità ${\displaystyle p}$. Per far questo è sufficiente ottenere un valore casuale compreso tra 0 e 1 e aggiungere le probabilità di ciascuna funzione una alla volta fino a ottenere un risultato maggiore del numero casuale ottenuto. Questa sarà la funzione selezionata.

I primi punti della serie vengono scartati. Poiché di solito sono molto lontani dall'attrattore, il resto viene tracciato fino a ottenere il disegno frattale corrispondente, il che avviene solitamente dopo un numero di iterazioni compreso tra 1000 e 5000.^[2]

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