Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.
Die Verteilung wurde 1972[1] von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.
Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung
Sei
die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als
identifizieren,
das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf
,
die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h.
und
symmetrisch,
,
dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum
-Parameter
definiert als[2]
![{\displaystyle L(X;F)={\frac {\operatorname {etr} (F'X)[dX]}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}},\quad X\in V_{n,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf0e9fa016defbd745627bf504665e42c0c4324)
kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.
Normalisierungskonstante
Die Integraldarstellung
![{\displaystyle \int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)[dX]={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}FF'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b11ec86b06e17e1c143b7c743e0d036eb325eb)
wurde 1961[3] von Alan T. James bewiesen. Sei
vom Rang
und
die Singulärwertzerlegung, dann gilt
![{\displaystyle {}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}D^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19d5718f10a822c05294d7be48feddfe305100c)
mit
.
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion ist
[4]
Verallgemeinerung
Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit
, wobei
eine positiv definite
-Matrix ist.[5]
Literatur
- Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch).
- Yasuko Chikuse: Concentrated matrix Langevin distributions. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 85, 2003, S. 375–394, doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9 (englisch).
- Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817 (englisch).
Einzelnachweise
- ↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817.
- ↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 281.
- ↑ Alan T. James: The Distribution of Noncentral Means with Known Covariance. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Mathematical Statistics. Band 32, Nr. 3, 1961, S. 874 - 882, doi:10.1214/aoms/1177704980.
- ↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 282.
- ↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676.
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen
Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch
Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet
Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart